Eduardo Paganini
Aun no existía la CTERA como institución, pero en las entidades de base se desarrollaban acciones y actividades trascendentes, como la actualización docente según lo testimonian estos apuntes que enfocaban la enseñanza de la matemática desde la óptica de la flamante —en la época— “matemática moderna” que se había incorporado en los currículos desde 1966 (recordemos de paso que una década más tarde iba a ser cuestionada y excluida por los funcionarios de la dictadura, actuantes en el Ministerio de Educación)
El que aquí hoy se edita en EL BAÚL es el material de apoyo para su curso de Perfeccionamiento a cargo del Prof. Luis María Campos, maestro en la Escuela Normal “Mariano Acosta” de la ciudad de Buenos Aires y que se dictó en las instalaciones de la UMP (Unión de Maestros Primarios) y de AMSAD (Asociación de Maestros Suplentes y Aspirantes a la Docencia). De paso, nos permite verificar la dimensión de ‘distancias’ no solo cronológicas sino también epistemológicas.
Los números
En la escuela primaria no se puede dar un concepto matemático de “número”, pero conviene tener en cuenta que los signos o “algoritmos” que habitualmente llamamos “números”, son solo la representación del número, o sea del cardinal de un conjunto, es decir, de la cantidad de elementos que integran dicho conjunto. Así, el cardinal del conjunto vacío, es el cero, el cardinal de un conjunto unitario es el uno, etc.
Números naturales
Son los números que sirven para contar. Contar es poner en correspondencia biunívoca los elementos de dos conjuntos que tienen el mismo cardinal (conjuntos “coordinables”). Poner en correspondencia biunívoca, significa hacer corresponder a cada elemento de un conjunto, un elemento, y solo uno, del otro conjunto. Para contar, se elige un conjunto como “patrón”. Muy probablemente, el primer conjunto “patrón” que utilizó el hombre para contar, fueron los dedos de las manos. El cardinal del conjunto que se elige como “patrón”, es la base del sistema de numeración.
Clasificación de los números
Entre los números naturales, solo son siempre posibles dos operaciones: la suma y el producto. Para hacer siempre posible la resta, se amplió el campo con la introducción de los números negativos, que junto con los naturales, constituyen los enteros. Pero entre estos números, la división no es siempre posible, para lo cual se crearon los números fraccionarios. Pero aún entre estos, hay casos de divisiones que no son posibles, como 1÷3; 3÷7, o la relación que liga al diámetro con su circunferencia, etc. Por ello, se crean los números irracionales, con lo que el cuadro de la clasificación de los números, sería el siguiente:
Distintos sistemas de numeración
Ya dijimos que la base de un sistema de numeración, es el cardinal del conjunto que se toma como “patrón”. De ahí que existan sistemas de numeración con diversas bases. Así, por ejemplo, los mayas usaron un sistema de base 20, entre los sajones era común un sistema de base 12, otros pueblos usaron la base 5, los babilonios tuvieron un sistema de base 60, etc. En los grados superiores de la escuela primaria, es interesante hacerles ver esto a los alumnos, y aun a manejar alguno de estos sistemas. Cuando el alumno efectúa una descomposición de un número en un sistema de base distinta al 10, se le aclaran algunos conceptos. Así, al descomponer el siguiente número, escrito en el sistema “quinario” (base 5), se le hace ver que, lo que hacemos al descomponer un número, es multiplicar a la cifra que ocupa cada lugar, por una potencia de la base:
El sistema binario
Actualmente muy usado por ser el apropiado para las máquinas computadoras, Estas trabajan en base a dos únicas alternativas: pasa corriente o no pasa. Esas dos únicas alternativas, coinciden con los dos únicos símbolos necesarios para escribir cualquier número en el sistema binario. Los primeros doce números en este sistema, se escriben así:
Los números naturales como conjunto
Considerando que los números naturales forman un conjunto de infinitos elementos, se puede hacer una revisión de las operaciones entre conjuntos ya vistas. Así, por ejemplo, se pueden establecer relaciones de pertenencia:
Se pueden determinar subconjuntos entre el conjunto de los naturales: son subconjuntos, el de los pares, el de los impares, el de los primos, etc.
La intersección entre el conjunto de los primos y el de los pares, (que es el número 2), la intersección entre los múltiplos de 3 y los múltiplos de 2, etc.
Como ejemplo de inclusión tenemos la inclusión de los pares en el conjunto de los naturales, la de los números menores que 10 en el conjunto de los menores que 100, etc.
Finalmente, un ejemplo de unión, sería la de los pares con los impares, que nos da el conjunto de los naturales. Todo esto, desde luego, se expresará con los símbolos correspondientes.
Operaciones con naturales
Toda operación es una relación entre un par de elementos del conjunto de los números naturales. La enseñanza de las operaciones fundamentales tiene que ser objetiva, utilizando elementos reales. Pero hay que tener presente que el trabajo con elementos reales lo hará el niño hasta tanto haya “interiorizado” la operación, es decir, hasta que sea capaz de expresarla utilizando los símbolos, haciendo abstracción de los elementos reales. Lo que significa que la utilización de elementos reales no se prolongará más allá de lo estrictamente necesario. Es conveniente, también, evitar la formación de procesos rígidos, haciéndole ver al niño las distintas maneras de arribar a un mismo resultado, con ejemplos de este tipo:
Otros ejercicios que pueden utilizarse, son los que demuestran que un mismo par de elementos, vinculados por diferentes relaciones, pueden dar diferentes resultados, Por ejemplo:
Operaciones a través de matrices
1º: que la operación es cerrada, pues tiene todas sus casillas ocupadas (la operación es siempre posible dentro del campo de los números naturales)
2º: que hay un elemento neutro, el O (la fila y la columna correspondientes al cero, reproducen los elementos de partida)
3º: que la operación es conmutativa (los dos campos en que queda dividida la matriz por la diagonal principal, son simétricos)
1º: que la operación no es cerrada (no siempre es posible dentro del campo de los números naturales)
2º: El cero es elemento neutro solamente cuando es sustraendo (la columna correspondiente a dicho elemento reproduce los elementos de partida, pero la fila no)
3º: que la operación no es conmutativa (los campos en que queda dividida no son simétricos.
Análogamente, se pueden construir las matrices del producto y del cociente.
Criterios de divisibilidad
Conveniencia de modificar algunos enunciados tradicionales: No hablar de “la última cifra”, sino de la “cifra de las unidades simples”.
Los criterios por 4 y por 8, enunciarlos así:
“Un número es divisible por 4, cuando la suma de la cifra de las unidades simples, más el duplo de la cifra de las decenas, da cero o múltiplo de cuatro”
“Un número es divisible por 8, cuando la suma de la cifra de las unidades simples, más el duplo de la cifra de las decenas simples, más el cuádruplo de la cifra de las centenas simples, da cero o múltiplo de ocho”
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
Obtenerlos por intersección de conjuntos, luego de haber explicado el significado de las palabras que los denominan. Una vez que el alumno entendió qué quiere decir máximo, qué quiere decir común y qué quiere decir divisor, es fácil hacerle ver que primero habremos de hallar los divisores de los números dados, que luego separaremos los comunes, y que de estos, elegiremos el mayor. Sea, por ejemplo, hallar el M.C.D. de 8 y 12, formaremos primero dos conjuntos: uno con los divisores de 8 y otra con los divisores de 12:
A: {1, 2, 4, 8} B: {1, 2, 3, 4, 6, 12}
La intersección entre estos dos conjuntos es:
{A} {B} = {1, 2, 4} Estos son los divisores comunes
Luego, al M.C.D. es 4.
Busquemos ahora al m.c.m. de 4 y 6:
Múltiplos de 4, A: {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32...} Múltiplos de 6, B: {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48...}
La intersección de estos conjuntos es:
{A} {B} = {12, 24, 36…}
Luego, el m.c.m. es 12.
No hay inconveniente, después, en hacerle ver al alumno que esto lo puede realizar de manera más breve, buscando los múltiplos del mayor de los números dados, en orden creciente, hasta encontrar uno que sea también múltiplo del otro número.
Desde luego que este procedimiento es factible para números pequeños, pero es precisamente con estos con los que el alumno tiene que trabajar, pues la aplicación del m.c.m. estará en la búsqueda del mínimo común denominador.
Si se hace el mismo procedimiento para obtener el M.C.D. de 4 y 5, por ejemplo, se arribará al siguiente concepto: “Dos números son primos entre sí, cuando su M.C.D. es 1”. Y si obtenemos el m.c.m. del mismo par de números, los niños pueden deducir este concepto: “Dos números son primos entre sí, cuando su m.c.m. es el producto de los mismos”.
Problemas sin cifras
Constituyen un buen medio para evitar que el alumno trate de acertar con un resultado numérico que satisfaga la incógnita del problema, a la vez que sirven para afirmar al concepto de cada operación. Se transcriben algunos ejemplos:
1- Se ha comprado la lana y el forro necesarios para hacer un colchón, y se sabe cuánto cobra el operario que armará el colchón. ¿Qué debe hacerse para poder saber a qué precio total resultará el colchón?
2- Un señor que presencia el paso de un batallón de soldados, ha contado las filas que pasaron ante él. ¿Qué otra cosa necesitaría saber, para poder decir cuántos soldados desfilaron ante él?
3- Una señora que sale de compras, sabe la cantidad de dinero que llevaba al salir, y cuenta el dinero que le quedó al regresar. ¿Qué debe hacer para saber cuánto gastó en total?
4- Se conoce el precio de venta de una bolsa de papas, y la ganancia que se obtiene en esa venta, ¿cómo pueda averiguarse el costo de esa bolsa?
5- Conociendo el precio de un boleto para viajar en tren hasta San Isidro, ¿cómo debo hacer para saber cuánto deberé pagar en total, si saco pasajes para mí y para una cantidad conocida de amigos que viajan conmigo?
6- Todos los meses, en una casa, se destina una misma cantidad de dinero para comprar ropa, otra cantidad para pagar el alquiler, y otra cantidad para gastar en alimentos. ¿Cómo podríamos conocer lo que en esa casa se gasta, anualmente, en tales rubros?
7- Un señor desea hacer empapelar una habitación. El operario que hará el trabajo, le ha dicho cuánto cuesta cada rollo de papel y cuánto le cobrará por el trabajo de colocarlo. ¿Qué otro dato necesita conocer el señor, para poder saber cuánto tendrá que pagar en total?
8- Se va a repartir, entre varios niños, el contenido de una cesta con manzanas. ¿Qué datos necesitamos conocer, y qué debemos hacer luego con esos datos, para saber cuántas manzanas deberemos dar a cada niño, si deseamos que todos tengan la misma cantidad?
9- Se conoce el precio de una docena de huevos, y la cantidad de ellos que contiene una cesta. ¿Cómo hay que hacer para calcular el precio de todos los huevos contenidos en la cesta?
10- Conociendo la distancia entre dos ciudades, y la velocidad media a que volará el avión que ha de viajar de una a otra, ¿Cómo se puede determinar el tiempo que durará al viaje?
Cómo resolver un problema numérico
Es aconsejable evitar el planteamiento tipo regla de tres para la resolución de cualquier problema, excepto, desde luego, los de regla de tres.
Preferiblemente, un problema cualquiera se resolverá, luego de un cuestionario oral que nos demostrará si el alumno leyó con atención el enunciado, indicando los diferentes pasos que se sigan, e iniciando cada paso con una breve enunciación de lo que se busca en dicho paso. Por ejemplo:
Sea el siguiente problema: “Para realizar un trabajo de albañilería, se compraron 45 bolsas de cemento de 38 kg c/u. Una vez realizado el trabajo, sobraron 3 bolsas enteras y 29 kg más. ¿Cuántos kilos de cemento se utilizaron en el trabajo?
Solución
I) Total de kilos comprados: 45 x 38 = 1.710 kg
II) Kilos que sobraron en tres bolsas: 38 x 3 = 114 kg
III) Total que sobró: 114 + 29 = 143 kg
IV) Total que se usó: 1.710 – 143 = 1.567 kg
Luis María Campos, Los números, Buenos Aires, 1968, Cuadernillo mimeografiado.
(1) Mínimo común múltiplo. [NE]
(2) Máximo común divisor. [NE]
(2) Máximo común divisor. [NE]
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